각을 (60도) 삼등분 하는 문제

by hun

60˚의 각이 주어졌을 때 자와 콤파스 만으로 그것을 세 등분 할 수 있는가는 매우 유명한 문제였다. 이것을 풀기 위해 수 많은 시도들이 있었고 지금까지 그것들은 다 틀린 것으로 판명 되었다.

그런데, 60˚를 세 등분을 작도할 수 없다는 것은 체론(體論, Field Theory, 물리에서 하는 장론이 아니다)을 이용해 증명된다는 것을 알았다.

간단한 아이디어를 설명하자면 작도할 수 있는 길이는 하나의 체(體, Field)를 이룬다. 다시 말해 어떤 두 길이를 작도할 수 있다면 그것을 더한 길이나 뺀 길이, 곱한 길이, 또는 나눈 길이 모두 작도 가능하다. 그러면, 60˚의 세 등분 – 즉 20˚를 작도할 수 있는가 하는 질문은 cos20˚라는 값을 작도할 수 있냐는 질문과 동일한 것인데, cos20˚가 작도 가능한 숫자들의 체에 들어갈 수 없다는 것을 증명할 수 있다. 고로 60˚를 자와 콤파스 만으로는 세 등분 할 수 없다는 것.

이런 것에서 수학의 힘을 느낀다. 작도라고 하는 순수한 기하학적(geometric) 문제 속에서 대수적(algebraic) 특징을 찾아내 기하의 문제를 대수적으로 해결하는 것이다. 이런데서 수학의 아름다움을 느낀다고 하면 수학을 전공하지 않는 사람들에게도 그 아름다움이 어느 정도 전달이 될까…?

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