5차 방정식의 근의 공식은 없음

by hun

아벨과 갈로와가 5차 이상의 다항식엔 근의 공식이 없음을 증명하였다는 것을 고등학교 때 들었다. 그 땐 그저 경이롭다는 생각이 들었다. 어떻게 그런 것을 증명할 수 있을까? 가장 일반적인 5차 방정식을 어떻게 가지고 놀면 그것의 근의 공식이 없음을 증명할 수 있을까? 난 이 문제를 해석학적으로 풀었다고 생각한 것이다.

그러나 이 문제도, 작도 문제와 같이 군론(group theory)과 환론(ring theory)으로 접근하여 증명이 되었던 것이다. 근의 공식이란 사칙연산과 제곱근을 이용한 표현이다. 제곱근을 취함으로써 숫자의 세계는 일반적으로 넓어지는데 (예를 들어 유리수에서 무리수로의 확장), 근의 공식을 만들어가는 과정 자체가 이러한 수 집합의 확장과 같은 것이다. 그리고 이와 비슷하게 다항식의 근을 구한다는 것 역시 숫자들의 집합을 확장하는 것과 같다. 그러므로 제곱근을 이용하여 확장된 집합과 다항식의 근을 이용하여 확장된 집합들의 특징을 잘 관찰하면 결국 5차 이상의 다항식의 근들을 구하기 위한 근의 공식은 만들 수 없음을 증명할 수 있다.

이상과 같은 내용들로 구성된 이론이 ‘갈로와 이론'(Galois Theory)이다. 눈부시게 아름다운 수학 이론 중 하나다.

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