Physical Meaning of Vector Potential (벡터퍼텐셜의 물리적 의미)

by hun

(English translation at the end.)

벡터퍼텐셜 \vec{A}는 벡터장으로써, 회전연산자를 통해 자기장 \vec{B}를 구할 수 있습니다:

\vec{B} = \nabla\times\vec{A}.

이런 연유로 벡터퍼텐셜은 자기퍼테셜이라고 불리기도 합니다. 이에 대한 전기적 짝꿍은 스칼라퍼텐셜 \phi로써, 기울기연산자를 통해 전기장 \vec{E}를 구할 수 있습니다: (벡터퍼텐셜이 시간에 대해 불변이라는 가정 아래)

\vec{E}=\nabla\phi.

스칼라퍼텐셜은 전기퍼텐셜이라고 불리기도 합니다.

벡터퍼텐셜이 물리적 의미는 별로 없는 수학적 도구일 뿐이라는 의견을 마주칠 때가 많습니다. 뿐만 아니라, 벡터퍼텐셜의 실체를 충분히 인식하기 위해서는 양자역학이 필요하다는 “미신”을 접할 때가 있습니다. 이러한 주장들이 틀린 이유는 다음과 같습니다:

  • 고전 전기역학은 자체적으로 상대론적인 이론임을 기억해 보세요. 우리는 벡터퍼텐셜이 스칼라퍼텐셜과 더불어 4차원 벡터를 이룬다는 것을 압니다. 다른 말로 하자면, 움직이는 기준틀로 옮기는 로렌츠 변환은 스칼라퍼텐셜과 벡터퍼텐셜을 섞습니다. 그러므로, 만일 스칼라퍼텐셜(즉, 전기퍼텐셜)이 물리적 실체를 지녔다고 생각한다면, 당연히 벡터퍼텐셜 또한 물리적 실체를 지녔다고 생각해야 할 것입니다.
  • 예컨대 질량 m과 전하 q를 지닌 입자가, 전자기장이 있는 계 안에 있다고 해 보세요. 뿐만 아니라, 이 계에 특정 대칭성이 있어서, 예를 들자면, x-축 방향과 나란한 이동에 대한 대칭이 있다고 하지요. 이 경우, 선운동량 또는 각운동량은 일반적으로 보존 되지 않습니다. 오히려 x-축 방향의 바른틀 운동량 m\frac{dx}{dt}+qA_x가 보존됩니다. 이 사실은 라그랑지 역학과 뇌터의 정리를 이용해 쉽게 얻을 수 있습니다. 결론적으로, 우리는 벡터퍼텐셜이 운동량을 전달할 수 있음을 알 수 있습니다.

과연 막스웰은 (막스웰 방정식의 아버지) 벡터퍼텐셜에 “전기역학적 운동량”이라는 별명을 붙이기도 있습니다. 뿐만 아니라 (특정 조건하에서는) 벡터퍼텐셜이 “점전하가 받는 기전력의 시간에 대한 적분”임을 밝혔습니다. (인용은 그의 저서 “A Treatise on Electricity and Magnetism”의 제 590 소절에서 찾았습니다.)

막스웰이 설명하고자 하는 바를 이애하기 위해 분석할 수 있는 좋은 실험이 파인만의 강의록 제 2권, 17-4에서 찾을 수 있습니다. 거기서 언급된 장치를 갖고 “전류가 급작스럽게 떨어질 경우”를 고려해 보십시오. 조금 더 간단한 실험은 (그 외에도 유익한 논고를) 다음 논문에서 찾을 수 있습니다: M.D. Semon and J. R. Taylor, “Thoughts on the magnetic vector potential”, Am. J. Phys. 64 (11), Nov 1996.

A vector potential is a vector field \vec{A} such that its curl gives you the magnetic field \vec{B}; in other words,

\vec{B} = \nabla\times\vec{A}.

For this reason it is also called as the magnetic potential. Its electric counter part is the scalar potential \phi which gives the electric field \vec{E} upon taking the gradient (provided that the vector potential is independent of time):

\vec{E}=\nabla\phi.

The scalar potential is also called as the electric potential.

One often confronts the idea that the vector potential is just a mathematical object without much physical meaning. Moreover, there is a myth saying that one needs quantum mechanics to fully appreciate the reality of the vector potential. These are not true for the following reasons:

  • Recall that the classical theory of electromagnetism is naturally relativistic. And we know that, together with the scalar potential \phi, the vector potential forms a 4-vector. Hence, if one thinks that the scalar potential (i.e., the electric potential) has physical reality, then one better think that the vector potential has physical reality.
  • Suppose a point particle with mass m and charge q is in a system where electromagnetic field is present. Furthermore, suppose there is a symmetry in the system; for example, a translational symmetry in x-direction. Then the linear momentum nor the angular momentum, in general, are not conserved. What is conserved is the x-component of the canonical momentum m\frac{dx}{dt}+qA_x in that symmetry direction. This fact is elegantly derived using Lagrangian mechanics and  Noether’s Theorem. Hence, we expect that the vector potential \vec{A} can carry momentum.

Indeed, J. C. Maxwell (the father of Maxwell’s Equations) wanted to give the name “electrokinetic momentum” to the vector potential; and stated that (under certain circumstances) it has the meaning of “the time-integral of the electromotive force which a particle placed at the point (x,y,z) would experience”. (Quotes are from Article 590 in his book “A Treatise on Electricity and Magnetism”.)

A nice experimental set-up one can analyze to understand what Maxwell is trying to say above, is suggested in Feynman’s Lectures on Physics, Vol 2, Section 17-4. Consider that experiment where “the current drops very fast”. For a simpler set up (and more helpful discussions), see the article by M.D. Semon and J. R. Taylor, “Thoughts on the magnetic vector potential”, Am. J. Phys. 64 (11), Nov 1996.

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