πνευματικός

Category: Mathematics

워드프레스, 레이텍 수식 표현 지원

by hun

워드프레스에서 \LaTeX(레이텍) 수식 표현을 지원하네요. 제가 이 기능을 얼마나 사용할지 모르겠지만, 분명 반갑고 (훌륭한!) 기능이 아닐 수 없습니다. 기념으로 가장 아름다운 수식 중 하나라고 알려진 것을 적어봅니다.

e^{i\pi}+1=0

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Valentine’s Day for Mathematicians

by hun

Nice music, and brilliant lyrics 🙂

“Finite Simple Group (of order 2)”

(The Klein Four)

The path of love is never smooth
But mine’s continuous for you
You’re the upper bound in the chains of my heart
You’re my Axiom of Choice, you know it’s true

But lately our relation’s not so well-defined
And I just can’t function without you
I’ll prove my proposition and I’m sure you’ll find
We’re a finite simple group of order 2

I’m losing my identity
I’m getting tensor every day
And without loss of generality
I will assume that you feel the same way

Since every time I see you, you just quotient out
The faithful image that I map into
But when we’re one-to-one you’ll see what I’m about
‘Cause we’re a finite simple group of order 2

Our equivalence was stable,
A principal love bundle sitting deep inside
But then you drove a wedge between our two-forms
Now everything is so complexified

When we first met, we simply connected
My heart was open but too dense
Our system was already directed
To have a finite limit, in some sense

I’m living in the kernel of a rank-one map
From my domain, its image looks so blue,
‘Cause all I see are zeroes, it’s a cruel trap
But we’re a finite simple group of order two

I’m not the smoothest operator in my class,
But we’re a mirror pair, me and you,
So let’s apply forgetful functors to the past
And be a finite simple group, be a finite simple group,
Let’s be a finite simple group of order 2
(“Why not 3?”)

I’ve proved my proposition now, as you can see,
So let’s both be associative and free
And by corollary, this shows you and I to be
Purely inseparable. Q. E. D.

5차 방정식의 근의 공식은 없음

by hun

아벨과 갈로와가 5차 이상의 다항식엔 근의 공식이 없음을 증명하였다는 것을 고등학교 때 들었다. 그 땐 그저 경이롭다는 생각이 들었다. 어떻게 그런 것을 증명할 수 있을까? 가장 일반적인 5차 방정식을 어떻게 가지고 놀면 그것의 근의 공식이 없음을 증명할 수 있을까? 난 이 문제를 해석학적으로 풀었다고 생각한 것이다.

그러나 이 문제도, 작도 문제와 같이 군론(group theory)과 환론(ring theory)으로 접근하여 증명이 되었던 것이다. 근의 공식이란 사칙연산과 제곱근을 이용한 표현이다. 제곱근을 취함으로써 숫자의 세계는 일반적으로 넓어지는데 (예를 들어 유리수에서 무리수로의 확장), 근의 공식을 만들어가는 과정 자체가 이러한 수 집합의 확장과 같은 것이다. 그리고 이와 비슷하게 다항식의 근을 구한다는 것 역시 숫자들의 집합을 확장하는 것과 같다. 그러므로 제곱근을 이용하여 확장된 집합과 다항식의 근을 이용하여 확장된 집합들의 특징을 잘 관찰하면 결국 5차 이상의 다항식의 근들을 구하기 위한 근의 공식은 만들 수 없음을 증명할 수 있다.

이상과 같은 내용들로 구성된 이론이 ‘갈로와 이론'(Galois Theory)이다. 눈부시게 아름다운 수학 이론 중 하나다.

정17각형의 작도

by hun

정17각형을 작도해보았다. 작도란 눈금이 없는 직자와 콤파스 만으로 도형을 그리는 것이다. (사진에는 자에 눈금이 있지만, 작도하는 과정에서 사용해서는 안 된다.) 정17각형은 cos(360/17)˚ 길이의 직선을 작도하면 된다. 그 길이는 다음과 같다:

\cos\Bigl(\frac{360}{17}\Bigr)^\circ = \frac{1}{16} \Biggl[ -1+\sqrt{17}+\sqrt{2(17-\sqrt{17})} + 2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{2(17-\sqrt{17})}-2\sqrt{2(17+\sqrt{17})}}\Biggr]

사실 cos(360/17)˚가 위의 값을 갖는다는 것을 구하는 것이 간단하지 않은 것이고, 일단 이 값을 구하고 나면 이러한 길이의 직선을 그리는 것은 시간 문제다. 몇 번의 실수 끝에 겨우 끝냈다. 뿌듯하다. 그리고 졸린다.

정17각형의 작도

각을 (60도) 삼등분 하는 문제

by hun

60˚의 각이 주어졌을 때 자와 콤파스 만으로 그것을 세 등분 할 수 있는가는 매우 유명한 문제였다. 이것을 풀기 위해 수 많은 시도들이 있었고 지금까지 그것들은 다 틀린 것으로 판명 되었다.

그런데, 60˚를 세 등분을 작도할 수 없다는 것은 체론(體論, Field Theory, 물리에서 하는 장론이 아니다)을 이용해 증명된다는 것을 알았다.

간단한 아이디어를 설명하자면 작도할 수 있는 길이는 하나의 체(體, Field)를 이룬다. 다시 말해 어떤 두 길이를 작도할 수 있다면 그것을 더한 길이나 뺀 길이, 곱한 길이, 또는 나눈 길이 모두 작도 가능하다. 그러면, 60˚의 세 등분 – 즉 20˚를 작도할 수 있는가 하는 질문은 cos20˚라는 값을 작도할 수 있냐는 질문과 동일한 것인데, cos20˚가 작도 가능한 숫자들의 체에 들어갈 수 없다는 것을 증명할 수 있다. 고로 60˚를 자와 콤파스 만으로는 세 등분 할 수 없다는 것.

이런 것에서 수학의 힘을 느낀다. 작도라고 하는 순수한 기하학적(geometric) 문제 속에서 대수적(algebraic) 특징을 찾아내 기하의 문제를 대수적으로 해결하는 것이다. 이런데서 수학의 아름다움을 느낀다고 하면 수학을 전공하지 않는 사람들에게도 그 아름다움이 어느 정도 전달이 될까…?

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